Question

已知函数f(x)在R上有定义，对任意实数a＞0和任意实数x，都有f(ax)＝af(x)．

(1)证明f(0)＝0；

(2)证明f(x)＝其中k和h均为常数；

(3)当(2)中的k＞0时，设g(x)＝＋f(x)(x＞0)，讨论g(x)在(0，＋∞)内的单调性并求极值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：对于任意的a＞0，x∈R，均有 　　f(ax)＝af(x)　　① 　　在①中取a＝2，x＝0，即得f(0)＝2f(0)． 　　∴f(0)＝0　　② 　　(2)证明：当x＞0时，由①得 　　f(x)＝f(x·1)＝xf(1)． 　　取k＝f(1)，则有 　　f(x)＝kx　　③ 　　当x＜0时，由①得 　　f(x)＝f((－x)·(－1)) 　　＝(－x)f(－1)． 　　取h＝－f(－1)，则有 　　f(x)＝hx　　④ 　　综合②、③、④得 　　f(x)＝ 　　(3)解法一：由(2)中的③知，当x＞0时，g(x)＝， 　　从而(x)＝，x＞0． 　　又因为k＞0，由此可得 　　所以g(x)在区间(0，)内单调递减，在区间(，＋∞)内单调递增， 　　在x＝处取得极小值2． 　　解法二：由(2)中的③知，当x＞0时， 　　g(x)＝＋kx． 　　设x1，x2，∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则 　　g(x2)－g(x1)＝＋kx2－(＋kx1) 　　＝·＋k(x2－x1) 　　＝k2x1x2－1)． 　　又因为k＞0，所以 　　(ⅰ)当0＜x1＜x2＜时，g(x2)＜g(x1)； 　　(ⅱ)当0＜＜x1＜x2时， 　　g(x2)＞g(x1)． 　　所以g(x)在区间(0，)内单调递减，在区间(，＋∞)内单调递增，在x＝处取得极小值2．