Question

（2012•黔东南州一模）数列{a_n}中，a₁=-2，an+1=3an+2n+6，bn=an+2n+3(n∈N*)．
（Ⅰ）证明：数列{b_n}是等比数列，并求a_n；
（Ⅱ）求数列{

an

bn

}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证明{b_n}是等比数列，只要证明

bn+1

bn

为常数即可，然后由等比数列的通项公式可求b_n，进而可求a_n
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求

an

bn

，利用分组求和，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求

解答：（Ⅰ）证明：由题意可得，

bn+1

bn

=

an+1+2n+1+3

an+2n+3

=

3an+2n+2m+1+9

an+2n+3

=

3(an+2n+3)

an+2n+3

=3…（3分）
又b₁=3，知{b_n}是以3为首项、3为公比的等比数列             …（4分）
∴bn=3n即an+2n+3=3n
∴an=3n-2n-3…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

an

bn

=

3n-2n-3

3n

=1-(

2

3

)n-(

1

3

)n-1…（8分）
故Sn=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

=n-

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-

1-( 1 3 )n

1- 1 3

…（10分）
=n+2×(

2

3

)n+

3

2

×(

1

3

)n-

7

2

．                                    …（12分）

点评：本题主要考查了等比数列的定义及通项公式的应用，等比数列与等差数列的求和公式的应用，分组求和方法等知识的综合应用