Question

20.如图，直线y=x与抛物线y=x²－4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于点Q.

(1)求点Q的坐标；

(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B)的动点时，求△OPQ面积的最大值.

Answer 1

20. [解] (1)解方程组得

即A(－4，－2)，B(8，4).从而AB的中点为M(2，1).

由k_AB=,得线段AB的垂直平分线方程为y－1=－2(x－2).

令y=－5,得x=5，∴Q(5,－5).

(2)直线OQ的方程为x+y=0.设P(x，x²－4).

∵点P到直线OQ的距离

d==|x²+8x－32|,|OQ|=5,

∴S_△OPQ=|OQ|d=|x²+8x－32|.

∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，

∴－4≤x＜4－4或4－4＜x≤8.

∵函数y=x²+8x－32在区间［－4，8］上单调递增，

且当x=－4时，|x²+8x－32|=48，当x=8时，|x²+8x－32|=96,

∴当x=8时，△OPQ的面积取到最大值×96=30.