Question

13．已知函数f（x）=x²-2x+2．
（1）求f（x）单调区间
（2）求f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，3]上的最大值和最小值；
（3）若g（x）=f（x）-mx在[2，4]上是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数 的对称轴，从而求出函数 的单调区间即可；
（2）根据f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[$\frac{1}{2}$，3]，再利用二次函数的性质求得f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，3]上的最值即可；
（3）根据g（x）=f（x）-mx=x²-（m+2）x+2在[2，4]上是单调函数，可得$\frac{m+2}{2}$≤2，或$\frac{m+2}{2}$≥4，由此求得m的取值范围．

解答 解：（1）f（x）的对称轴是x=1，故函数f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增；
（2）∵f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[$\frac{1}{2}$，3]，
∴f（x）的最小值是f（1）=1，f（x）的最大值是f（3）=5，
即f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，3]上的最大值是5，最小值是1．
（3）∵g（x）=f（x）-mx=x²-（m+2）x+2
，∴$\frac{m+2}{2}$≤2，或$\frac{m+2}{2}$≥4，
解得m≤2或m≥6，
故m的取值范围是（-∞，2]∪[6，+∞）．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，属于中档题．