Question

已知f（x）=（1+x）^α（1+

1

x

）^β（α，β，x∈R⁺），
（1）求f（x）的最小值；
（2）如果y＞0，求证：（

α+β

x+y

）^α+β≤（

α

x

）^α•（

β

y

）^β；
（3）如果α₁，α₂，…α_n，β₁，β₂，…β_n＞0，求证：（

α1+α2+…+αn

β1+β2+…+βn

）^{α1+α2+…+αn}≤（

α1

β1

）^α1•（

α2

β2

）^α2…（

αn

βn

）^αn．

Answer 1

分析：（1）先求导函数得f′（x）=

α(1+x)α+β-1

xβ-1

•(x-

β

α

)，从而可知x∈（

β

α

，+∞）时f′（x）＞0，x∈（0，

β

α

）时，f′（x）＜0．故可求f（x）的最小值；
（2）根据f（

β

α

）≤f（

y

x

），可得（

α+β

α

）^α•（

α+β

β

）^β≤（

x+y

x

）^α•（

x+y

y

）^β，从而得证；
（3）利用数学归纳法证明，当n=2时，由（2）可知（

α1+α2

β1+β2

）^α1+α2≤（

α1

β1

）^α1•（

α2

β2

）^α2，假设n=k时，成立，即（

α1+α2+…+αn

β1+β2…+βn

）^{α1+α2+…+αn}≤（

α1

β1

）^α1•（

α2

β2

）^α2…（

αn

βn

）^αn，再证明当n=k+1时也，成立．

解答：（1）解：f′（x）=α（1+x）^α-1（1+

1

x

）^β+（1+x）^α•β（1+

1

x

）^β-1•（-1）•

1

x2

=

α(1+x)α+β-1

xβ-1

•(x-

β

α

)，
∵x∈（

β

α

，+∞）时f′（x）＞0，x∈（0，

β

α

）时，f′（x）＜0．
∴f（x）_max=f（

β

α

）=（

α+β

α

）^α（

α+β

β

）^β．
（2）证：∵f（

β

α

）≤f（

y

x

），∴（

α+β

α

）^α•（

α+β

β

）^β≤（

x+y

x

）^α•（

x+y

y

）^β，
即（

α+β

x+y

）^α+β≤（

α

x

）^α•（

β

y

）^β．
（3）当n=2时，由（2）可知（

α1+α2

β1+β2

）^α1+α2≤（

α1

β1

）^α1•（

α2

β2

）^α2，
设n=k时，（

α1+α2+…+αn

β1+β2…+βn

）^{α1+α2+…+αn}≤（

α1

β1

）^α1•（

α2

β2

）^α2…（

αn

βn

）^αn，
当n=k+1时，（

α1+α2+…+αn+αn+1

β1+β2…+βn+βn+1

）^{α1+α2+…+αn+αn+1}
=[

(α1+α2+…+αn)+αn+1

(β1+β2…+βn)+βn+1

]^{（α1+α2+…+αn）+αn+1}
≤（

α1+α2+…+αn

β1+β2…+βn

）^{α1+α2+…+αn}•（

αn+1

βn+1

）^αn+1
≤（

α1

β1

）^α1•（

α2

β2

）^α2…（

αn

βn

）^αn•（

αn+1

βn+1

）^αn+1．
所以，结论对一切n成立．

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数与不等式的综合，考查数学归纳法，有一定的综合性．