Question

已知函数f(x)=

ex

ex+1

，x∈R．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）求f(-1)+f(-

1

2

)+f(0)+f(

1

2

)+f(1)的值．

Answer 1

分析：（1）函数f(x)=

ex

ex+1

，x∈R是增函数，由于此函数是一个复合函数，由复合函数单调性的判断规则进行证明即可；
（2）观察五个函数值，出现了两组自变量互为反函数，故应先研究f（x）+f（-x）的值，再根据探究出的结论求值即可得到答案．

解答：解：（1）函数f(x)=

ex

ex+1

，x∈R是增函数，证明如下
f(x)=

ex

ex+1

=1-

1

ex+1

，由于

1

ex+1

在R上是减函数，故f(x)=1-

1

ex+1

是增函数，
即函数f(x)=

ex

ex+1

，x∈R是增函数
（2）由于f（x）+f（-x）=

ex

ex+1

+

e-x

e-x+1

=

ex+1

ex+1

=1，f(0)=

e0

e0+1

=

1

2

，
故有f(-1)+f(-

1

2

)+f(0)+f(

1

2

)+f(1)=1+1+

1

2

=

5

2

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，探究规律求函数值，本题具有一定的探究性，属于能力型题，解题的关键是通过审题发现题设中的规律