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    设A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N*,使得(A∪B)∩C=,证明此结论.

    思路解析:本题可将条件(A∪B)∩C=转化为A∩C=且B∩C=,这样难度就降低了.

    解:∵ (A∪B)∩C=,∴ A∩C=且B∩C=.

    ∵

    ∴k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0.

    ∵A∩C=,∴Δ1=(2bk  -1)2-4k2(b2-1)＜0.

    ∴4k2-4bk+1＜0.此不等式有解的充要条件是16b2-16＞0,即b2＞1.              ①

    ∵

    ∴4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0.

    ∵B∩C=,∴Δ2=(1-k)2-4(5-2b)＜0.

    ∴k2-2k+8b-19＜0.∴(k-1)2+8b-20＜0.∴8b-20＜-(k-1)2≤0.

    从而8b＜20,即b＜2.5.                                                                           ②

    由①、②及b∈N*,得b=2,代入由Δ1＜0和Δ2＜0组成的不等式组,得

    ∴k=1.故存在自然数k=1,b=2,

    使得(A∪B)∩C=.


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