设函数y=f(x)定义域为R,当x＜0时,f(x)＞1,且对于任意的x,y∈R,有f成立.数列{an}满足a1=f(0),且f(an+1)=(n∈N*).的值;求证:函数y=f(x)在R上是减函数;(2)求数列{an}的通项公式并证明. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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设函数y=f(x)定义域为R,当x＜0时,f(x)＞1,且对于任意的x,y∈R,有f(x+y)=f(x)·f(y)成立.数列{a_n}满足a₁=f(0),且f(a_n+1)=(n∈N^*).

(1)求f(0)的值;求证:函数y=f(x)在R上是减函数;

(2)求数列{a_n}的通项公式并证明.

解:(1)令x=-1,y=0,得f(-1)=f(-1)·f(0),即f(0)=1.

当x＞0时,-x＜0,∴f(0)=f(x)·f(-x)=1.∴0＜f(x)＜1.

设x₁,x₂∈R,且x₁＜x₂,

f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)-f(x₁+x₂-x₁)=f(x₁)［1-f(x₂-x₁)］,

∵x₁＜x₂,∴x₂-x₁＞0.∴f(x₂-x₁)＜1.

∴1-f(x₂-x₁)＞0,而f(x₁)＞0.

∴f(x₁)-f(x₂)＞0,即f(x₁)＞f(x₂).

∴函数y=f(x)在R上是减函数.

(2)由f(a_n+1)=得f(a_n+1)·f(-2-a_n)=1,

∴f(a_n+1-a_n-2)=f(0).

∴a_n+1-a_n-2=0,

即a_n+1-a_n=2(n∈N^*).

∴{a_n}是等差数列，其首项为1，公差为d=2.∴a_n=2n-1.

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（1）求y=f（x）的解析式；
（2）证明：曲线y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心Q；
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（Ⅰ）求f（x）的解析式：
（Ⅱ）证明：函数y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

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（本小题满分12分）

设函数f(x)=ax+(a,b∈Z)，曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为y=3。