Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知C=

π

3

．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求cosB；
（Ⅱ）若c=2，

sinC+sin(B-A)

2

=sin2A，求a+b．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由cosC，a，b的值，利用余弦定理列出关系式求出c的值，再利用余弦定理表示出cosB，将三边长代入计算即可求出值；
（Ⅱ）已知等式左边利用诱导公式及和差化积公式变形，右边利用二倍角的正弦函数公式化简，整理得到sinB=2sinA，利用正弦定理得到b=2a，再利用余弦定理列出关系式，将cosC，c，b=2a代入求出a的值，进而求出b的值，即可确定出a+b的值．

解答：解：（Ⅰ）∵C=

π

3

，a=2，b=3，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=4+9-6=7，即c=

7

，
则cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

4+7-9

4 7

=

7

14

；
（Ⅱ）

sinC+sin(B-A)

2

=

sin(A+B)+sin(B-A)

2

=sinBcosA=sin2A=2sinAcosA，
∵cosA≠0，∴sinB=2sinA，
利用正弦定理化简得：b=2a，
∵C=

π

3

，c=2，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即2=a²+4a²-2a²=3a²，
解得：a=

6

3

，b=

2 6

3

，
则a+b=

6

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．