Question

已知双曲线C：=1（a＞0,b＞0）,B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足||、||、||成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P.

（1）求证：·=·.

（2）若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D、E，求双曲线C的离心率e的取值范围.

Answer 1

分析：根据条件写出l的方程，求出点P的坐标后，利用向量的坐标运算证明.

（1）证明：由题意知,直线l的方程为y=(x-c).

由

解得P（,）.

∵||、||、||成等比数列.

∴x_a·c=a²,∴x_a=,∴A(,0).

∴=(0,),=(,),FP=(,).

∴·=,·=.

∴·=·.

（2）解：由

得b²x²-(x-c)²=a²b²,

即（b⁴-a⁴）x²+2a⁴cx-(a⁴c²+a²b⁴)=0.

∵l与双曲线左、右两支分别相交于点D、E，设D（x₁,y₁）,E(x₂,y₂),

∴x₁·x₂=＜0.∴b⁴＞a⁴,即b²＞a²,∴c²-a²＞a².

∴e²＞2,即e＞.

点拨：解决离心率范围问题，就要构造出关于a、b、c的不等式进而求出e的范围，同时应注意e＞1这一条件.