Question

如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，，E，F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅲ）求二面角F﹣EC﹣D的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，
∵F为PD的中点，E为AB的中点，
∴FGCD，AECD
∴FGAE，
∴AF∥GE
∵GE平面PEC，
∴AF∥平面PCE；
（Ⅱ）证明：∵PA=AD=2，
∴AF⊥PD
又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵AD⊥CD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AF平面PAD，
∴AF⊥CD．
∵PD∩CD=D，
∴AF⊥平面PCD，
∴GE⊥平面PCD，
∵GE平面PEC，
∴平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅲ）取AD的中点M，连接FM，EM，MC，
∵F是PD的中点；
∴FM∥PA；
∴FM⊥平面ABCD；?EC⊥FM①
在三角形EMC中，
∵MC==3；ME==；EC==；
∴MC²=ME²+EC²；
∴EM⊥EC  ②；
∴由①②得EC⊥平面FME，
∴EC⊥FE，即∠FEM为二面角F﹣EC﹣D的平面角，
而tan∠FEM====；
∴∠FEM=30°．故二面角F﹣EC﹣D为30°．