Question

（2012•安徽模拟）已知函数f（x）=kxlnx，k∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当函数g(x)=

f(x)-kx

ex

，x∈[e，3]的最大值为

1

e2

时，求k的值．

Answer 1

分析：（1）确定函数定义域为（0，+∞），求导函数，分类讨论，利用导数的正负，确定函数的单调性；
（2）求导函数g′（x）=

k(lnx+x-xlnx)

ex

，令u（x）=lnx+x-xlnx，求导函数u′（x）=

1

x

-lnx，可得x∈[e，3]时，lnx+x-xlnx＞0，对k讨论，利用函数g（x）的最大值为

1

e2

，即可求得k的值．

解答：解：（1）由题意知函数定义域为（0，+∞），f′（x）=k（1+lnx）；
当k=0时，f（x）=0，所以函数无单调区间；
当k＞0时，令f′（x）=k（1+lnx）＞0，则x＞

1

e

，所以函数f（x）在（0，

1

e

]上单调递减，在[

1

e

，+∞）上单调递增；
当k＜0时，令f′（x）=k（1+lnx）＞0，则0＜x＜

1

e

，所以函数f（x）在（0，

1

e

]上单调递增，在[

1

e

，+∞）上单调递减；
（2）因为g(x)=

f(x)-kx

ex

，所以g′（x）=

k(lnx+x-xlnx)

ex

令u（x）=lnx+x-xlnx，所以u′（x）=

1

x

-lnx
∵x∈[e，3]，∴lnx≥1，

1

x

≤

1

e

＜1，∴u′（x）＜0，即u（x）为减函数，可得u（x）_min=u（3）=3-3ln3=ln

e3

9

＞0
∴x∈[e，3]时，lnx+x-xlnx＞0
当k＞0时，g′（x）＞0，可得g（x）在x∈[e，3]时为增函数，g（x）_max=g（3）=

1

e2

，所以k=

e

3(ln3-1)

；
当k=0时，g（x）的最大值是0，不合题意；
当k＜0时，g′（x）＜0，g（x）在x∈[e，3]上为减函数，g（x）的最大值是0，不合题意
故当函数g（x）的最大值为

1

e2

时，k的值为

e

3(ln3-1)

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．