Question

已知函数f（x）=a_n-1x²+（1-a_n）x+a_n-1，（x＞0，n≥2）
（1）若f（1）=0，a₁=1，求数列{a_n}的通项公式
（2）若a_n＞1，（n∈N^*），至少存在一个正数x，使f（x）≤0成立，
求证：

1

a1+1

+

1

a2+1

+

1

a3+1

+…+

1

an+1

＜1（n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）根据f（1）=0，a₁=1，可得a_n=2a_n-1+1，变形得a_n+1=2（a_n-1+1），从而求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由韦达定理分析易知，方程f（x）=0有根则必有正根，从而只需△≥0即可，然后利用等比数列求和公式可得

1

a1+1

+

1

a2+1

+

1

a3+1

+…+

1

an+1

＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

＜1，证得结论．

解答：解：（1）f（1）=a_n-1+1-a_n+a_n-1=0⇒a_n=2a_n-1+1⇒a_n+1=2（a_n-1+1）
∴a_n+1=2ⁿ⇒a_n=2ⁿ-1，（n∈N^*）
证明：（2）由韦达定理分析易知，方程f（x）=0有根则必有正根，∴只需△≥0即可△=(1-an)2-4

a

2 n-1

≥0⇒(an-1)2≥4

a

2 n-1

⇒an-1≥2an-1⇒

an+1

an-1+1

≥2
∴an+1=(a1+1)•

a2+1

a1+1

•

a3+1

a2+1

•…

an+1

an-1+1

≥(a1+1)•2n-1＞2n
∴

1

a1+1

+

1

a2+1

+

1

a3+1

+…+

1

an+1

＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

＜1

点评：本题主要考查了构造法求数列的通项公式，同时考查了韦达定理的运用和等比数列的求和，是一道数列与不等式综合的题，有一定的难度．