Question

设点F₁是椭圆

x2

12

+

y2

3

=1的左焦点，弦AB过椭圆的右焦点，则△F₁AB的面积的最大值是（　　）

• A．6
• B．12
• C．3

  3

• D．6

  3

Answer 1

分析：设出直线AB的方程与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，再利用三角形的面积公式即可得出不等式，利用基本不等式的性质即可求出．

解答：解：设直线AB的方程为x=my+3，联立

x2 12 + y2 3 =1 x=my+3

消去x得（m²+4）y²+6my-3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．则y1+y2=-

6m

m2+4

，y1y2=-

3

m2+4

．
S△F1AB=

1

2

|F1F2||y1-y2|=3|y1-y2|=3

(y1+y2)2-4y1y2

=12

3

•

m2+1

m2+4

．
令t=

m2+1

，则t≥1．
∴S△F1AB=12

3

•

t

t2+3

=

12 3

t+ 3 t

≤

12 3

2 3

=6．（当且仅当t=3时等号成立）
因此△F₁AB的面积的最大值是6．
故选A．

点评：熟练掌握直线与椭圆相交问题的解题模式、根与系数的关系、基本不等式的性质是解题的关键．