Question

如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，线段AD⊥平面ABC，AH⊥平面DBC，H为垂足．

求证：H不可能是△BCD的垂心．

Answer 1

答案：
解析：

证明：假设H是△BCD的垂心，则BH⊥CD． 　　∵AH⊥平面DBC，DC平面DBC， 　　∴AH⊥DC． 　　∵AH∩BH＝H，∴CD⊥平面ABH． 　　又AB∩平面ABH，∴CD⊥AB． 　　∵AD⊥平面ABC，AB平面ABC， 　　∴AD⊥AB． 　　由于AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD． 　　∵AC平面ACD，∴AB⊥AC． 　　这与已知中∠BAC＝60°相矛盾． 　　∴假设不成立．故H不可能是△BCD的垂心． 　　思路分析：证明“不可能”无法下手，从对反面“可能”考虑，用反证法证明．

提示：

(1)“不可能”类型的问题用反证法证明．“不可能”的反面是“可能”． 　　(2)注意反证法的证题过程．实际上∠BAC只要不是90°，这个题型的方法总是一样的．