Question

若直线y=x+t与椭圆相交于A、B两点，当t变化时，求|AB|的最大值．

Answer 1

【答案】分析：直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式，可求|AB|，从而可求|AB|的最大值．
解答：解：以y=x+t代入，并整理得5x²+8tx+4t²-4=0①
因为直线与椭圆相交，则△=64t²-20（4t²-4）＞0，…（3分）
所以t²＜5，即，…（3分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A（x₁，x₁+t），B（x₂，x₂+t），且x₁，x₂是方程①的两根．由韦达定理可得：，…（6分）
所以，弦长|AB|²=+=2=2[-4x₁•x₂]=2[]…（9分）
所以|AB|=，
所以当t=0时，|AB|取最大值为．…（12分）
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确计算弦长是关键．