Question

已知函数f（x）=2x-1（x∈R）．规定：给定一个实数x₀，赋值x₁=f（x₀），若x₁≤257，则继续赋值x₂=f（x₁）；若x₂≤257，则继续赋值x₃=f（x₂）；…，以此类推．若x_n-1≤257，则x_n=f（x_n-1），否则停止赋值．已知赋值k（k∈N^*）次后该过程停止，则x₀的取值范围是

1. A.
   （2^7-k+1，2^8-k+1]
2. B.
   （2^8-k+1，2^9-k+1]
3. C.
   （2^9-k+1，2^10-k+1]
4. D.
   （2^8-k，2^9-k]

Answer 1

B
分析：由题意，可先解出x₁，x₂，x₃，从中发现规律，猜想出x_k=f（x_k-1）=2x_k-1-1=2^kx₀-2^k-1-…-2²-2-1=2^kx₀-=2^kx₀-2^k+1，再由题设条件x_n-1≤257，则x_n=f（x_n-1），否则停止赋值，可得到2^kx₀-2^k+1＞257，且2^k-1x₀-2^k-1+1≤257，解此二不等式即可得到x₀的取值范围选出正确选项．
解答：由题意x₁=f（x₀）=2x₀-1；
x₂=f（x₁）=2x₁-1=2（2x₀-1）-1=2²x₀-2-1；
x₃=f（x₂）=2x₂-1=2（2²x₀-2-1）-1=2³x₀-2²-2-1；
…，
x_k=f（x_k-1）=2x_k-1-1=2^kx₀-2^k-1-…-2²-2-1=2^kx₀-=2^kx₀-2^k+1；
令2^kx₀-2^k+1＞257，且2^k-1x₀-2^k-1+1≤257，
解得2^8-k+1＜x₀≤2^9-k+1
故x₀的取值范围是（2^8-k+1，2^9-k+1]
故选B
点评：本题考查归纳推理，等比数列的求和公式，解题的特点是先列举几个特殊例子找出规律，从而利用规律得出结论，解答本题，理解赋值终止的条件是关键．