Question

已知函数f(x)=ln

x-4

x-6

+

x

12

（Ⅰ）求f（x）的单调区间以及极值；
（Ⅱ）函数y=f（x）的图象是否为中心对称图形？如果是，请给出严格证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数f′(x)=

x(x-10)

12(x-4)(x-6)

，确定函数的定义域，由f′（x）＞0得函数的增区间，由f′（x）＜0得函数的减区间，从而可确定函数的极值；
（Ⅱ）f（x）图象上取得极值的两点的中点为(5，

5

12

)．再证明函数f（x）图象关于此点对称．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

x(x-10)

12(x-4)(x-6)

∵x∈（-∞，4）∪（6，+∞）
由f′（x）＞0得f（x）在区间（-∞，0]和[10，+∞）上递增
由f′（x）＜0得f（x）在区间[0，4）和（6，10]上递减
于是有[f(x)]极小值=f(0)=ln

2

3

；[f(x)]极大值=f(10)=ln

3

2

+

5

6

（Ⅱ）因为f（x）图象上取得极值的两点的中点为(5，

5

12

)．
下证，函数f（x）图象关于此点对称．     
设f（x）的定义域为D，?∈D，有：f(x)+f(10-x)=ln

x-4

x-6

+

x

12

+ln

6-x

4-x

+

10-x

12

=

5

6

所以，函数y=f（x）的图象关于点(5，

5

12

)对称．

点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的中心对称，正确求导，利用函数的定义域是关键．