Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于两点P，Q，以PQ为直径的圆过原点O，则

1

a2

+

1

b2

=

2

．

Answer 1

分析：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），把x+y-1=0代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，再利用韦达定理得x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x₁x₂=

a2(1-b2 )

a2+b2

，y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂，由以PQ为直径的圆过原点O，知x₁x₂+y₁y₂=0，由此能够求出

1

a2

+

1

b2

．

解答：解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于两点P，Q，
∴x₁+y₁-1=0，x₂+y₂-1=0，
把x+y-1=0代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得：（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，
∴x₁+x₂=

2a2

a2+b2

，x₁x₂=

a2(1-b2 )

a2+b2

，
∴y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂，
∵以PQ为直径的圆过原点O，∴OP垂直OQ，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=-1，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
∴2×

a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0，
∴

1

a2

+

1

b2

=2．
故答案为：2．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，解题时要认真审题，提高计算能力，注意圆的性质的灵活运用．