Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的周期为π，且图象上一个最低点为M(

2π

3

，-2)．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；  
（Ⅱ）当x∈[0，

π

12

]，求f（x）的值域； 
（Ⅲ）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数的周期，求出ω；根据图象上一个最低点为M(

2π

3

，-2)，求出A=2、φ，即可得到函数解析式；
（Ⅱ）由x∈[0，

π

12

]，可得2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

3

]，从而可求f（x）的值域； 
（Ⅲ）利用正弦函数的单调性，即可求f（x）的单调递增区间．

解答：解：（Ⅰ）∵函数的周期为π，∴

2π

ω

=π，∴ω=2，∴f（x）=Asin（2x+φ），
∵图象上一个最低点为M(

2π

3

，-2)，∴A=2，且2×

2π

3

+φ=

3π

2

+2kπ
∴φ=

π

6

+2kπ（k∈Z）
∵0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

12

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

3

]
∴f（x）∈[1，

3

]； 
（Ⅲ）令2x+

π

6

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，可得x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．

点评：本题考查函数解析式的确定，考查三角函数的性质，确定函数解析式是关键．