Question

10、已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．

Answer 1

分析：四条直线两两相交包括：四条直线中有三条相交于一点与四条直线中任何三条都不共点两种情况．
无论哪种情况先由两直线相交确定一个平面，再通过直线上两点在一个平面内则该直线在这个平面内，即可证明．

解答：证明：（1）若当四条直线中有三条相交于一点，
不妨设a，b，c相交于一点A，
但A∈d，如图1．
∴直线d和A确定一个平面α．
又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，
则A，E，F，G∈α．
∵A，E∈α，且A，E∈a∴a?α．
同理可证b?α，c?α．
∴a，b，c，d在同一平面α内．
（2）当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．
∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α．
设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．
又H，K∈c，∴c?α．
同理可证d?α．
∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．

点评：本题主要考查平面的确定方法、线在面内的判定方法及分类讨论思想．