Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形.已知AB=3，AD=2，PA=2， PD=，∠PAB=60°。  

（1）证明：AD⊥平面PAB；
（2）求二面角P-BD-A的大小。

Answer 1

（1）证明：在△PAD中， 由题设，PA=2，AD=2，PD=， 可得PA2+AD2=PD2， 于是AD⊥PA， 在矩形ABCD中，AD⊥AB， 又PA∩AB=A， ∴AD⊥平面PAB。
（2）解：过点P作PH⊥AB于H，过H作HE⊥BD于E， 连结PE， ∵AD⊥平面PAB，PH平面PAB， ∴AD⊥PH， 又AD∩AB=A， ∴PH⊥平面ABCD， 故HE为PE在平面ABCD内的射影， 由三垂线定理，可知BD⊥PE， 从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角， 由题设，可得 PH=PA·sin60°=，AH=PA·cos60°=1， BH=AB-AH=2，BD=， HE=， 于是在Rt△PHE中，tan∠PEH=， 所以二面角P-BD-A的大小为arctan。