Question

已知椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

(Ⅰ)求C₁、C₂的标准方程；

(Ⅱ)请问是否存在直线l满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交不同两点M、N且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)设抛物线，则有，据此验证个点知(3，)、(4，4)在抛物线上，易求　　2分 　　设：，把点(2，0)(，)代入得： 　　　解得 　　∴方程为　　6分 　　(Ⅱ)法一： 　　假设存在这样的直线过抛物线焦点，设直线的方程为两交点坐标为， 　　由消去，得　　8分 　　∴　　① 　　 　　　　②　　11分 　　由，即，得 　　将①②代入(*)式，得，解得　　13分 　　所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：或　　14分 　　法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意　　6分 　　当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为 　　由消掉，得　　10分 　　于是，　　① 　　 　　即　　②　　12分 　　由，即，得 　　将①、②代入(*)式，得，解得　　13分 　　所以存在直线满足条件，且的方程为：或　　14分