Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB=4，点E在CC₁上且C₁E=3EC．
（Ⅰ）证明：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A₁-DE-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）要证A₁C⊥平面BED，只需证明A₁C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直；
（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A₁H，说明∠A₁HG是二面角A₁-DE-B的平面角，然后解三角形，求二面角A₁-DE-B的大小．
法二：建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出，证明A₁C⊥平面DBE．
（Ⅱ）求出 平面DA₁E和平面DEB的法向量，求二者的数量积可求二面角A₁-DE-B的大小．
解答：解：解法一：
依题设知AB=2，CE=1．
（Ⅰ）连接AC交BD于点F，则BD⊥AC．
由三垂线定理知，BD⊥A₁C．（3分）
在平面A₁CA内，连接EF交A₁C于点G，
由于，
故Rt△A₁AC∽Rt△FCE，∠AA₁C=∠CFE，∠CFE与∠FCA₁互余．
于是A₁C⊥EF．A₁C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，
所以A₁C⊥平面BED．（6分）
（Ⅱ）作GH⊥DE，垂足为H，连接A₁H．由三垂线定理知A₁H⊥DE，
故∠A₁HG是二面角A₁-DE-B的平面角．（8分）
，，．，．
又，．．
所以二面角A₁-DE-B的大小为．（（12分））
解法二：
以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系D-xyz．
依题设，B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4）．
，．（3分）
（Ⅰ）因为，，
故A₁C⊥BD，A₁C⊥DE．
又DB∩DE=D，
所以A₁C⊥平面DBE．（6分）
（Ⅱ）设向量=（x，y，z）是平面DA₁E的法向量，则，．
故2y+z=0，2x+4z=0．
令y=1，则z=-2，x=4，=（4，1，-2）．（9分）等于二面角A₁-DE-B的平面角，
所以二面角A₁-DE-B的大小为．（12分）
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．