Question

若对于任意x＞0，a≥

x

x2+3x+1

恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A．a≤

  1

  5

• B．a≥

  1

  6

• C．a≥

  1

  5

• D．a≤

  1

  6

Answer 1

分析：要使对一切正数a≥

x

x2+3x+1

都成立，只需求出x+

1

x

的最小值，即可得到a的取值范围．

解答：解：设y=

x

x2+3x+1

=

1

x+ 1 x +3

，x＞0
由基本不等式可得：x+

1

x

≥2
当且仅当x=

1

x

，即x=1时取到等号，y_max=

1

5

对一切正数a≥

x

x2+3x+1

都成立等价于a≥y_max，
即a≥

1

5

，
故答案为 C．

点评：本题为求最大值问题，利用基本不等式求得x+

1

x

的最小值是解决问题的关键，属基础题．