Question

（2011•南通三模）已知函数f（x）=ln （ax+1）+

1-x

1+x

，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，根据f（x）在x=1处取得极值，可得f'（1）=0，即可求得a的值；
（2）设f′（x）=

a

ax+1

-

2

(1+x)2

＞0，有ax²＞2-a，分类讨论：a≥2，则f'（x）＞0恒成立，f（x）在[0，+∞）上递增，f（x）的最小值为f（0）=1；0＜a＜2，可得f（x）在x=

2-a a

处取得最小值f（

2-a a

）＜f（0）=1，由此可得a的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=ln （ax+1）+

1-x

1+x

=ln（ax+1）+

2

1+x

-1，求导函数可得f′（x）=

a

ax+1

-

2

(1+x)2

，
∵f（x）在x=1处取得极值，
∴f'（1）=0，∴

a

a+1

-

2

4

=0
∴a=1；
（2）设f′（x）=

a

ax+1

-

2

(1+x)2

＞0，有ax²＞2-a，
若a≥2，则f'（x）＞0恒成立，f（x）在[0，+∞）上递增，∴f（x）的最小值为f（0）=1；
若0＜a＜2，则x＞

2-a a

，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（

2-a a

，+∞）上递增，在（-∞，

2-a a

）上递减，
∴f（x）在x=

2-a a

处取得最小值f（

2-a a

）＜f（0）=1．
综上知，若f（x）最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值与最值，正确求导是关键．