Question

如图，在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AB＝1，BB₁＝＋1，E为BB₁上使B₁E＝1的点．平面AEC₁交DD₁于F，交A₁D₁的延长线于C，求：

(Ⅰ)异面直线AD与C₁G所成角的大小；

(Ⅱ)二面角A－C₁G－A₁的正切值；

Answer 1

答案：
解析：

法一：(Ⅰ)由AD∥D1G知∠C1GD1为异面直线AD与C1G所成的角．连接C1F．因为AE和C1F分别是平行平面ABB1A1和C－C1D1－D与平面AEC1G的交线，所以AE∥C1F，由此可得D1F＝BE＝．再由△FD1G－△FDA得D1G＝． 在Rt△C1D1G中，由C1D1＝1，D1G＝得∠C1GD1＝． 　　(Ⅱ)如图所示，作D1H⊥C1G于H，连接FH．由三垂线定理知FH⊥C1G，故∠D1HF为二面角F－C1G－D1即二面角A－C1G－A1的平面角． 　　在Rt△GHD1中，由D1G＝，∠D1GH＝得D1H＝． 　　从而tanD1HF＝＝2． 　　法二：(Ⅰ)由AD∥D1G知∠C1GD1为异面直线AD与C1G所成的角． 　　因为EC1和AF是平行平面BB1C1C与AA1D1D与平面AEC1G的交线， 　　所以EC1∥AF．由此可得∠AGA1＝∠EC1B1＝， 　　从而A1G＝AA1＝＋1，于是D1G＝． 　　在Rt△C1D1G中，由C1D1＝1，D1G＝得∠C1GD1＝． 　　(Ⅱ)如图所示，在△A1C1G中，由∠C1A1G＝，∠A1GC1＝知∠A1C1G为钝角．作A1H⊥GC1交GC1的延长线于H，连接AH．由三垂线定理知GH⊥AH，故∠AHA1为二面角AC1GA1的平面角． 　　在Rt△A1HG中，由A1G＝＋1，∠A1GH＝得A1H＝． 　　从而tan∠AHA1＝＝2．