Question

如图，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PA=AB=2，E是PB的中点，F是AD的中点.

   （Ⅰ）求异面直线PD一AE所成角的大小；

   （Ⅱ）求证：EF平面PBC；

   （Ⅲ）求二面角F―PC―B的大小.

Answer 1

解法一：

   （Ⅰ）连结BD

    ∵PD⊥平面ABCD，

∴平面PDB⊥平面ABCD，

过点E作EO⊥BD于O，连结AO.

则EO∥PD，且EO⊥平面ABCD.

∴∠AEO为异面直线PD，AE所成的角

∵E是PB的中点，

则O是BD的中点，

且EO=PD=1.

在Rt△EOA中，AO=，

.

即异面直线PD与AE所成角的大小为

   （Ⅱ）连结FO，

    ∵F是AD的中点，

∴OF⊥AD.

∵EO⊥平面ABCD，

由三垂线定理，得EF⊥AD.

又∵AD∥BC，

∴EF⊥BC

连结FB.

可求得FB = PF =

则EF⊥PB.

又∵PB∩BC = B，

∴EF⊥平面PBC.

   （Ⅲ）取PC的中点G，连结EG，FG.

则EG是FG在平面PBC内的射影

∵PD⊥平面ABCD，  ∴PD⊥BC

又DC⊥BC，且PD∩DC = D，

∴BC⊥平面PDC，

∴BC⊥PC，

∵EG∥BC，

则EG⊥PC

∴FG⊥PC

∴∠FGE是二面角F―PC―B的平面角

在Rt△FEG中，EG=BC = 1，GF = ，

 

∴二面角F―PC―B的大小为

解法二：

   （Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则

A（0，2，0），B（2，2，0），C（2，0，0），

D（0，0，0），P（0，0，2），E（1，1，1）

故异面直线AE与DP所成角的大小为

   （Ⅱ）

∴EF⊥平面PBC

   （Ⅲ）设平面PFC的法向量为

则    令

由（Ⅱ）知平面PBC的法向量为

则二面角F―PC―B的大小为为