Question

设a₁＞a₂＞…＞a_n＞a_n+1,求证：

＞0.

Answer 1

思路分析：这道题初看起来似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构就可以使用了，我们不妨改为证：

(a₁-a_n+1)·［］＞1.

证明：为了运用柯西不等式，我们将a₁-a_n+1写成

a₁-a_n+1=(a₁-a₂)+(a₂-a₃)+ …+(a_n-a_n+1),于是

［(a₁-a₂)+(a₂-a₃)+…+(a_n-a_n+1)］·（）≥n²＞1.

即(a₁-a_n+1)·（）＞1,

∴,

故＞0.

方法归纳

    我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式之和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明.