Question

已知a＞0且a≠1，f(logax)=

a(x2-1)

x(a2-1)

．
试判断f（x）在定义域上是否为单调函数？若是，是增函数还是减函数？并证明结论．

Answer 1

分析：先通过换元法，等价转化函数为f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)，用函数的单调性定义证明．

解答：解：是增函数．证明如下：
设t=log_ax，则x=a^t，
∴f(t)=

a

a2-1

•

a2t-1

at

，
即f(t)=

a

a2-1

(at-a-t)．
∴f(t)=

a

a2-1

(ax-a-x)．
∵f（x）的定义域为R，
设x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

[(ax1-a-x1)-(ax2-a-x2)]=

a

a2-1

•

(ax1-ax2)(1+ax1ax2)

ax1•ax2

．
∵a＞0，a≠1，
∴ax1ax2＞0，1+ax1ax2＞0．
若0＜a＜1，则ax1＞ax2，ax1-ax2＞0．
此时

a

a2-1

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
同理，若a＞1，则f（x₁）＜f（x₂）．
综上所述，当a＞0且a≠1时，f（x）在R上单调递增．

点评：本题考查了函数的等价转化以及分类讨论思想．