Question

已知函数f（x）=(x≠0).

(1)若f(x)=x且x∈R,则称x为f(x)的实不动点.求f(x)的实不动点；

(2)在数列{a_n}中，a₁=2,a_n+1=f(a_n),求数列{a_n}的通项公式.

Answer 1

解：(1)∵f(x)=x,∴

∴(x+1)⁴+(x-1)⁴=x·(x+1)⁴-x·(x-1)⁴.

∴(x+1)(x-1)[- (x+1)³+(x-1)³]=0.

∴(x+1)(x-1)(3x²+1)=0.

∴x=1或x=-1,                                                                                                        

即f(x)的实不动点为x=1或x=-1.

(2)∵a_n+1=f(a_n),∴

∴a_n·(a_n+1)⁴-a_n·(a_n-1)⁴=(a_n+1)⁴+(a_n-1)⁴.

∴(a_n+1)⁴·(a_n+1-1)=(a_n-1)⁴(a_n+1+1).

∴=()⁴.                                                                                    

设b_n=,则上式为b_n+1=b_n⁴.

∵a₁=2,∴b₁==3, b₂=b₁⁴=3⁴,b₃=b₂⁴=3¹⁶,b₄=b₃⁴=3⁶⁴…，猜想b_n＝证明如下：

①     当n=1时，有b₁=3,符合.

②     假设当 n=k时，命题成立，即b_k=.

则当n=k时，b_k＋1＝b_k⁴=()⁴=3也成立.

综合①②知b_n=成立.∴＝.∴