Question

函数f(x)=sin2x+

3

cos2x的最大值记为M，周期为

π

a

，则函数g（t）=t²（t-a）在区间[0，M]上的最大值为（　　）

• A．1
• B．0
• C．-

  4

  27

• D．4

Answer 1

分析：利用两角和的正弦公式化简函数解析式为2sin（2x+

π

3

），由此求得最大值M，根据周期的值求出a的值，利用导数求
出函数g（t）=t²（t-1）在[0，2]上的最大值．

解答：解：∵函数f(x)=sin2x+

3

cos2x=2（

1

2

sin2x+ 

3

2

cos2x）=2sin（2x+

π

3

），
故函数的最大值M=2，周期为

π

a

=

2π

2

，∴a=1．
故函数g（t）=t²（t-a）=t²（t-1），区间[0，M]即[0，2]．
g′（t）=3t²-2t，故当t∈（0，

1

3

）上时，g′（t）＜0，当t∈（

1

3

，2]上时，g′（t）＞0．
故函数在∈（0，

1

3

）上是减函数，在∈（

1

3

，2]上是增函数．
故函数的最大值为g（0）或g（2）．
再由g（0）=0，g（2）=4 可得，函数g（t）=t²（t-a）在区间[0，M]上的最大值为4，
故选D．

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的周期性，利用导数求函数在闭区间上的最大值，属于中档题．