Question

如右图所示,若点A在平面BDC上的射影H是△BDC的垂心,求证:点C在平面ADB上的射影H′也是△ABD的垂心.

Answer 1

分析：要证H′是△ABD的重心,则只需证明AH′⊥BD,DH′⊥AB.由三垂线定理可知,只需证明BD⊥AC,AB⊥CD.由A在△BCD内的射影为△BCD的垂心易得上述两个垂直.

证明：从三角形垂心的定义知，连结CH并延长与BD交于E，则CE⊥BD.

∵AH⊥平面BDC,∴直线CA在平面BDC上的射影是直线CE.∴BD⊥AC.

从H′是C在平面ABD上的射影,知CH′⊥平面ABD,连结AH′并延长与BD交于F点,则直线AF是斜线CA在平面ABD的射影.∵BD⊥AC,

∴BD⊥AF.连结DH′并延长与AB交于G,同理从AB⊥CD可知AB⊥DG,所以H′是△ADB的垂心.

点评：本试题应注意两个问题:一是充分利用三角形垂心是三角形高的交点这一性质;二是三垂线定理及逆定理的反复利用,并且能顺利地找到平面的垂线,斜线在平面内的射影.