Question

如图,给出定点A(a,0)(a＞0)和定直线l:x=-1，B是l上的动点，∠BOA的平分线交AB于C，求点C的轨迹方程并讨论曲线的类型与a值的关系.

Answer 1

分析：由于B点在直线x=-1上移动，A点在x正半轴上移动，因此分类讨论应分两组进行：首先由B点在x轴上(即重合于D点)与不在x轴上讨论求函数的轨迹方程；第二组由圆锥曲线的定义对a＞0的定义域进行讨论.

解：(1)当B点落在x轴上的D点时，∠AOB=π,∠AOB的平分线为y轴，y轴与AB的交点为原点，此时点C的轨迹为坐标原点O(0,0).

(2)当B点在x轴的上方时，设C(x,y)，其中y＞0,0＜x＜a,设B(-1,y_B),y_B＞0,

∵Rt△ACE∽Rt△ABD,∴=.

∵a-x≠0,∴y_B=.

    由l₁到l₂的角得

tan∠AOC==,

tan∠COB=.

    由tan∠AOC=tan∠COB得

=.

∵y＞0，两边同除以y,得

(1-a)x²+(a+1)y²=2ax(0＜x＜a,y＞0).

(3)当B点在x轴下方时，同理可求得C点的轨迹方程为(1-a)x²+(1+a)y²=2ax(0≤x＜a,y＜0).

    由(1)(2)(3)得C点的轨迹方程为

(1-a)x²+(1+a)y²=2ax(0≤x＜a).            (*)

    方程(*)是一个含有参数a的二元二次方程且不含xy项，表示何种曲线类型由x²和y²的系数确定.

(i)当a=1时，(*)化为y²=x(0≤x＜1)，为一段抛物线；(ii)当a≠1时，(*)化简为

=1(0≤x＜a).

①当即0＜a＜1时，轨迹为椭圆位于0≤x＜a之间的部分.

②当即a＞1时，轨迹为双曲线在0≤x＜a之间的一段.