Question

若实数x，y满足x²+y²-2x-2y+1=0，

x-2

y-4

的取值范围为（　　）

• A．(0，

  3

  4

  ]
• B．[

  4

  3

  ，+∞)
• C．(-∞，-

  4

  3

  ]
• D．[-

  4

  3

  ，0)

Answer 1

分析：由题意，借助已知动点在圆上任意动，而所求式子形式可以联想成在圆上动点P与定点A构成的斜率，进而求解．

解答：解：由题意，x²+y²-2x-2y+1=0即（x-1）²+（y-1）²=1表示圆心在（1，1）半径为1的圆．
作出如下图形：
令k=

y-4

x-2

，则k可看作圆上的动点P到定点A（2，4）的连线的斜率．设直线方程为：y-4=k（x-2），
化为直线一般式为：kx-y-2k+4=0，
利用直线与圆相切建立关于k的方程为：

|k-1-2k+4|

k2+1

=1⇒k=

4

3

而有题意及点P所在的位置图可以知道斜率k临界下时斜率为

4

3

，而由于点A的横坐标与圆在x轴的交点横坐标一样，此时过点A与单位圆相切的直线的倾斜角为90°，所以斜率无最大值．
综合可得，k≥

4

3

，
∴

x-2

y-4

的取值范围为（0，

3

4

]．
故选A．

点评：此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．