Question

设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2+=．则椭圆C的离心率为    ．

Answer 1

【答案】分析：依题意可求得直线AQ的方程，从而求得Q点的坐标，利用向量的坐标运算由2+=可求得a，c之间的关系式，从而可求得椭圆C的离心率．
解答：解：∵A（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），
∴直线AF₂的斜率为：k=-，
∵AQ⊥AF₂，
∴k_AQ=．
∴直线AQ的方程为：y-b=（x-0）=x，
令y=0得：x=-．
∴Q点的坐标为（-，0）．
∵2+=，
∴2（2c，0）+（--c，0）=（0，0），
∴-=-3c，
∴3c²=b²=a²-c²，
∴=，
∴e==．
故答案为：．
点评：本题考查椭圆的简单性质，考查向量的坐标运算，求得Q点的坐标是关键，属于中档题．