Question

如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．

(1)求证：AF⊥DB；

(2)如果圆柱与三棱锥D－ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE． ∵EB平面ABE， ∴DA⊥EB． ∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上， ∴AE⊥EB，又AE∩AD=A， 故得EB⊥平面DAE． ∵AF平面DAE， ∴EB⊥AF． 又AF⊥DE，且EB∩DE=E， 故得AF⊥平面DEB． ∵DB平面DEB， ∴AF⊥DB．  (2) 解：过点E作EH⊥AB，H是垂足，连结DH．根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线．且EH平面ABE，所以EH⊥平面ABCD． 又DH平面ABCD，所以DH是ED在平面ABCD上的射影，从而 ∠EDH是DE与平面ABCD所成的角． 设圆柱的底面半径为R，则DA=AB=2R，于是 V圆柱=2πR 3， 由V圆柱：VD－ABE=3π，得EH=R，可知H是圆柱底面的圆心，AH=R， DH= ∴∠EDH=arcctan=arcctan，