Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）且满足f（-1）=0对任意实数x，都有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，有
（1）求f（1）的值；
（2）证明：a＞0、c＞0；
（3）当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调的，求证：m≤0或m≥1．

Answer 1

【答案】分析：（1）由条件可知x∈（0、2）恒成立，取x=1即可求得f（1）的值；
（2）由条件可转化为二次不等式恒成立问题，考虑开口和△，找出a、b、c的关系即可；
（3）已知g（x）的单调性，转化为导函数≥0或≤0恒成立即可．
解答：解：（1）由条件可知对任意实数x∈（0、2）恒成立，取x=1得1≤f（1）≤1，故f（1）=1．
（2）由f（-1）=0得a-b+c=0，故，
由对任意实数x，都有f（x）-x≥0得ax²+（b-1）x+c≥0，
所以，即，即
故a＞0，c＞0
（3）由（2）可知，在[-1、1]单调，
≥0或≤0在[-1、1]上恒成立，
所以或
点评：本题考查二次不等式恒成立问题、已知单调性求参数范围问题，综合性较强，难度较大．