Question

在数列{a_n}中，a₁=1，S_n示该数列的前n项和．若已知a_n=2S_n-1（n∈N^*，n≥2）
（1）求证：数列{S_n}是等比数列；（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）根据a_n=S_n-S_n-1，根据a_n=2S_n-1，可求得

Sn

Sn-1

=3进而判断出数列{S_n}是等比数列．
（2）由（1）可根据等比数列的通项公式求得S_n，进而根据a_n=2S_n-1，求得a_n，进而看当n=1时不符合上式，最后综合可得．答案．

解答：解（1）∵a_n=2S_n-1（n∈N⁺，且n≥2）
∴S_n-S_n-1=2S_n-1，∴

Sn

Sn-1

=3
∴数列{S_n}是以S₁=a₁=1为首项，以3为公比的等比数列
（2）由（1）知，S_n=3^n-1当n≥2时，a_n=2S_n-1=2×3^n-2
∵当n=1时，a₁=1不适合上式，
∴数列{a_n}通项公式为an=

1 (n=1) 2×3n-2 (n≥2)

点评：本题主要考查了等比关系的确定．对于求得n≥2时的通项公式，最后对a₁一定要进行验证．