Question

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

已知函数满足ax·f(x)＝2bx＋f(x)，a≠0，f(x)＝1；且使f(x)＝2x成立的实数x只有一个．

(Ⅰ)求函数f(x)的表达式；

(Ⅱ)若数列{a_n}满足，a_n+1＝f(a_n)，，n∈^*，证明：

数列{b_n}是等比数列，并求出{b_n}的通项公式；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，证明：a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n＜1，n∈N^*．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由ax·f(x)＝2bx＋f(x)，，a≠0，得． 　　由f(1)＝1，得a＝2b＋1． 　　由f(x)＝2x只有一解，即，也就是2ax2－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解， 　　∴4(1＋b)2－×2a×0＝0 　　∴b＝－1． 　　∴a＝－1．故． 　　(Ⅱ)∵，，∴， 　　，， 　　猜想，． 　　下面用数学归纳法证明： 　　10当n＝1时，左边＝，右边＝，∴命题成立． 　　20假设n＝k时，命题成立，即； 　　当　n＝k＋1时，， 　　∴当　n＝k＋1时，命题成立． 　　由10，20可得，当n∈N*时，有． 　　∵，∴ 　　∴{bn}是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为． 　　(Ⅲ)∵， 　　∴．