Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x² 若对任意的x∈[t，t+2]不等式f（x）≤4f（x+t）恒成立，则实数t的最大值是

-

2

3

．

Answer 1

分析：由已知表达式及奇函数的性质求出函数f（x）在R上的解析式，易判断其单调性，再把不等式f（x）≤4f（x+t）进行等价变形，转化为两个自变量的值间的不等关系，进而可转化为函数的最值问题解决．

解答：解：当x≤0时，f（x）=x²，
∵函数f（x）是奇函数，
∴当x＞0时，f（x）=-x²，
∴f（x）=

x2，x≤0 -x2，x＞0

，
∴f（x）在R上是单调递减函数，
且满足4f（x+t）=f[2（x+t）]，
∵不等式f（x）≤4f（x+t）=f[2（x+t）]在x∈[t，t+2]上恒成立，
∴x≥2（x+t）在x∈[t，t+2]上恒成立，即x≤-2t在x∈[t，t+2]上恒成立，
∴t+2≤-2t，解得t≤-

2

3

．
∴t的最大值为-

2

3

．
故答案为：-

2

3

．

点评：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力．