Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c）图象上两点A（m₁，f（m₁））、B（m₂，f（m₂）），且f（x）满足f（1）=0，a²+［f（m₁）+f（m₂）］·a+f（m₁）·f（m₂）=0，

（1）求证：b≥0；

（2）求证：f（x）的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是［2，3）.

（3）能否得出f（m₁+3）、f（m₂+3）中至少有一个为正数？请证明你的结论.

Answer 1

（1）证明：∵f（m₁）、f（m₂）满足a²+［f（m₁）+f（m₂）］a+f（m₁）f（m₂）=0，即［a+f（m₁）］［a+f（m₂）］=0，∴f（m₁）=-a或f（m₂）=-a.

又∵m₁或m₂是f（x）=-a的一个实根，

∴Δ≥0，即b²+4ab≥0，b（b+4a）≥0.

又∵a＞b＞c，

∴a＞0，c＜0.

∴3a-c＞0.

∴b+4a=3a-c＞0.

∴b≥0.

（2）证明：设ax²+bx+c=0的两根为x₁、x₂，则一个根为1，另一个根为.

∵a＞0，c＜0，

∴＜0.

∵a＞b＞c且b=-a-c≥0，

∴a＞-a-c＞c.

∴-2＜≤-1，2≤|x₁-x₂|＜3.

（3）解：设f（x）=a（x-x₁）（x-x₂）

=a（x-1）（x-）.

由已知f（m₁）=-a或f（m₂）=-a，不妨设f（m₁）=-a，则（m₁-1）（m₁-）=-a＜0.

∴＜m₁＜1.

 

∴m₁+3＞+3＞1.

∴f（m₁+3）＞f（1）=0.

∴f（m₁+3）＞0.

同理，当f（m₂）=-a时，有f（m₂+3）＞0，因此f（m₂+3）或f（m₁+3）中至少有一个为正数.