Question

已知椭圆G：的离心率为，且右顶点为A（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）的直线l与椭圆G交于A，B两点，当以线段AB为直径的圆经过坐标原点时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由椭圆C的离心率e==，右顶点为A（2，0），能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx=2．由方程组，得（4k²+1）x²+16kx+12=0．由方程有两个不等的实数根，解得|k|＞．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=．因为以线段AB为直径的圆经过坐标原点，所以x₁x₂+y₁y₂=0，由此能够求出直线l的方程．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C的离心率e==，右顶点为A（2，0），
∴a=2，c=，b=1．
所以椭圆的方程为．…（4分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx=2．
由方程组，得（4k²+1）x²+16kx+12=0．①…（6分）
因为方程①有两个不等的实数根，
所以△=（16k）²-4（4k²+1）×12＞0，
解得|k|＞．…（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=，x₁x₂=．②
因为以线段AB为直径的圆经过坐标原点，
所以 ，=0，即有x₁x₂+y₁y₂=0．…（9分）
所以x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
所以（k²+1）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0．③
将②代入③得，
所以12（k²+1）-2×16k²+4（4k²+1）=0，
解得k=±2．…（13分）
满足|k|＞，
所求直线l的方程为y=±2x+2．…（14分）
点评：本题考查椭圆方程的求法和直线方程的求法，综合性强，难度大．解题时要认真审题，仔细解答，注意解题能力的培养．