Question

如图，点A（-a，0），B（

2

3

，

4

3

）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的两点，直线AB与y轴交于点C（0，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点C任意作一条直线PQ与椭圆相交于P，Q，求PQ的取值范围．

Answer 1

（1）由B（

2

3

，

4

3

），C（0，1），得直线BC方程为y=

1

2

x+1．
令y=0，得x=-2，∴a=2．                                 
将B（

2

3

，

4

3

）代入椭圆方程，得

4 9

4

+

16 9

b2

=1．
∴b²=2．
椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．                                     
（2）①当PQ与x轴垂直时，|PQ|=2

2

；                       
②当PQ与x轴不垂直时，不妨设直线PQ：y=kx+1（k≥0），
代入椭圆方程x²+2y²-4=0，得x²+2（kx+1）²-4=0．
即 （2k²+1）x²+4kx-2=0．                                 
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则 x1，2=

-2k± 8k2+2

2k2+1

．
则|x₁-x₂|=

2 8k2+2

2k2+1

．
|PQ|=

1+k2

•

2 8k2+2

2k2+1

．
∴|PQ|²=

8(1+k2)(4k2+1)

(2k2+1)2

=8(1+

k2

4k4+4k2+1

)    
=8•(1+

1

4k2+ 1 k2 +4

)．                                       
∵4k2+

1

k2

 ≥ 2

4k2• 1 k2

=4，在k=

2

2

时取等号，
∴|PQ|²=8•(1+

1

4k2+ 1 k2 +4

)∈（8，9]．则PQ∈(2

2

，3]．       
由①，②得PQ的取值范围是[2

2

，3]．