Question

(本题满分16分)

       若函数．

（1）当，时，若函数的图象与轴所有交点的横坐标的和与积分别为，．

(i)求证：的图象与轴恰有两个交点；

(ii)求证：．

（2）当，时，设函数有零点，求的最小值．

Answer 1

解：（1）(i)因为，

所以是使取到最小值的唯一的值，且在区间上，函数单调递减；在区间上，函数单调递增．因为，，，所以的图象与x轴恰有两个交点． …4分

(ii)设x₁，x₂是方程的两个实根，则有因式，且可令. 于是有.           ①

分别比较（*）式中常数项和含x³的项的系数，得，，

解得，．

所以．

分别比较①式中含x和x²的项的系数，得

，………②，，③

②× + ③×n得，即．…………10分

（2）方程化为：，

       令,方程为，，即有绝对值不小于2的实根．

设，

当，即时，只需，此时，；

当，即时，只需，此时，；

当，即时，只需或，即或，此时．

的最小值为．…………………………………………………16分