Question

（2013•成都模拟）偶函数f（x）满足f（1-x）=f（x+1），且x∈[0，1]时，f（x）=-x+1，则关于x的方程f（x）=(

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)x，在x∈[0，3]上解的个数是（　　）

Answer 1

分析：首先有已知条件推导函数f（x）的性质，再利用函数与方程思想把问题转化，数形结合，即可得解

解答：解：设y1=f(x) ， y2=(

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)x
方程f(x)=(

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)x的根的个数，即为函数y1=f(x) ，y2=(

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)x的图象交点的个数
∵f（1-x）=f（x+1）
∴原函数的对称轴是x=1，且f（-x）=f（x+2）
又∵f（x）是偶函数
∴f（-x）=f（x）
∴f（x）=f（x+2）
∴原函数的周期T=2
又∵x∈[0，1]时，f（x）=-x+1
由以上条件，可画出y1=f(x) ，y2=(

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)x的图象：
又因为当x=

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2

时，y₁＞y₂，当x=1时y₁＜y₂
∴在(

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2

，1)内有一个交点
∴结合图象可知，在[0，3]上y1=f(x) ，y2=(

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)x共有4个交点
∴在[0，3]上，原方程有4个根
故选D

点评：本题考察函数的性质，函数与方程思想，数形结合思想．属较难题