Question

如图，已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁，

求证：(1)平面AB₁D₁∥平面C₁BD；

(2)对角线A₁C被平面AB₁D₁和平面C₁BD三等分．

Answer 1

答案：
解析：

证：(1)连AC，∵BD⊥AC，AC是A1C在底面上的射影，由三条垂线定理得A1C⊥BD，同理可证A1C⊥BC1． 　　∴A1C⊥平面C1BD，同理也能证得A1C⊥平面AB1D1． 　　∴平面AB1D1∥平面C1BD． 　　(2)设A1到平面AB1D1的距离为h，正方体的棱长为a，则有：h·(a)2＝a·a2． 　　∴h＝a．同理C到平面C1BD的距离也为a，而A1C＝a．故A1C被两平行平面三等分． 　　评析：论证A1C被两平行平面三等分，关键是求A1到平面AB1D1的距离，C到平面C1BD的距离，这里用三棱锥体积的代换，若不用体积代换，则可以在平面A1ACC1中去考虑： 　　连A1C1，设A1C1∩B1D1＝O1，AC∩BD＝0，如图连AO1，C1O，AC1，设AC1∩A1C＝K．A1C∩AO1＝M，C1O∩A1C＝N．可证M为ΔA1AC1的重心，N为ΔACC1的重心，则可推知MN＝NC＝A1M． 　　另外值得说明的是：A1C是面AB1D1和面BC1D的公垂线． 　　异面直线AD1和C1D的距离也等于MN．

提示：

本题若根据“一个平面内两条相交的直线分别与另一平面内两条相交的直线平行，则两平面平行”是很容易解决论证平面AB1D1∥平面C1BD的，但兼顾考虑(2)的论证，(1)我们还是采用“两平面垂直于同一直线则两平面平行”的判定的方法．