Question

如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．

(1)求证：平面PBD上平面PAC；

(2)求点A到平面PBD的距离；

(3)求二面角B-PC-A的大小．

Answer 1

解法一：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系．

(1)平面PAC即xOz平面的一个法向量为n=(0，1，0)；设平面PBD的一个法向量为n₁=(1，y₁，z₁)，

由n₁⊥ ,n₁⊥,可得n₁=(1，0，)

由n·n₁=(0，1，0)·(1，0，)=0，得n⊥n₁，

所以平面PBD⊥平面PAC

(2) =(，0，0)，点A到平面PBD的距离

d=

(3)平面PAC的一个法向量为(0，1，0)，设平面PBC的一个法向量n₂=(1，y₂，z₂)

由n₂⊥，n₂⊥可得n₂=(1，，)

∴cos＜n，n₂＞=，

∴故所求的二面角为arecos．

解法二：(1)平面PBD⊥平面PAC

(2)连结PO，过点A作AE⊥PO，平面PAC∩平面PBD=PO，

∴AE⊥平面PBD，AE就是所求的距离，计算得AE=

(3)过点O作OF⊥PC，连接BF，∵OF⊥平面PAC，由三垂线定理PC⊥BF，∴∠OFB为二面角B-PC-A的平面角，

经计算，AC=2，PC=4，OC=

∵Rt△OFC∽Rt△PAC，

∴

∴tan∠OFB=

∴∠OFB=arctan

即二面角B-PC-A的大小为arctan．