Question

已知数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N^*），若数列{a_n+1+λa_n}是等比数列，
（Ⅰ）求实数λ的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n），且|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m对于n∈N^*恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由{a_n+1+λa_n}为等比数列，可化

an+1+λan

an+λan-1

为（1+λ）•

an+ 6 1+λ an-1

an+λan-1

，应为常数，从而可得关于λ的方程，解出可得λ；
（Ⅱ）按（Ⅰ）所求λ值分情况讨论，根据{a_n+1+λa_n}成等比数列可分别得到一递推式，两式相减可求得a_n；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可求得b_n，令S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|，则|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m对于n∈N^*恒成立，等价于S_n的最大值小于m，利用错位相减法可求得S_n，从而可得其最大值；

解答：解（Ⅰ）∵{a_n+1+λa_n}为等比数列，
∴

an+1+λan

an+λan-1

=

an+6an-1+λan

an+λan-1

=

(1+λ)an+6an-1

an+λan-1

=（1+λ）•

an+ 6 1+λ an-1

an+λan-1

应为常数，
∴λ=

6

1+λ

，解得λ=2或λ=-3；
（Ⅱ）当λ=2时，可得{a_n+1+2a_n}为首项是a₂+2a₁=15，公比为3的等比数列，
则a_n+1+2a_n=15•3^n-1  ①，
当λ=-3时，{a_n+1-3a_n}为首项是a₂-3a₁=-10，公比为-2的等比数列，
∴a_n+1-3a_n=-10（-2）^n-1  ②，
①-②得，an=3n-(-2)n；
（Ⅲ）由3ⁿb_n=n（3ⁿ-a_n）=n[3ⁿ-3ⁿ+（-2）ⁿ]=n（-2）ⁿ，
∴b_n=n（-

2

3

）ⁿ，
令S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=

2

3

+2（

2

3

）²+3（

2

3

）³+…+n（

2

3

）ⁿ，

2

3

S_n=（

2

3

）²+2（

2

3

）³+…+（n-1）（

2

3

）ⁿ+n（

2

3

）ⁿ⁺¹，
两式相减，得

1

3

S_n=

2

3

+（

2

3

）²+（

2

3

）³+…+（

2

3

）ⁿ-n（

2

3

）ⁿ⁺¹=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n（

2

3

）ⁿ⁺¹=2[1-（

2

3

）ⁿ]-n（

2

3

）ⁿ⁺¹，
∴S_n=6[1-（

2

3

）ⁿ]-3n（

2

3

）ⁿ⁺¹＜6，
要使得|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m对于n∈N^*恒成立，只须m≥6，
∴m的取值范围是[6，+∞）．

点评：本题考查数列的函数特性、数列求和及由递推式求数列通项，考查学生分析解决问题的能力，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．