Question

如图，已知椭圆的左、右两个顶点分别为A、B，直线x=t(-2＜t＜2)与椭圆相交于M、N两点，经过三点A、M、N的圆与经过三点B、M、N的圆分别记为圆C₁与圆C₂，
(1)求证：无论t如何变化，圆C₁与圆C₂的圆心距是定值；
(2)当t变化时，求圆C₁与圆C₂的面积的和S的最小值。

Answer 1

(1)证明：易得A的坐标(-2，0)，B的坐标(2，0)，
M的坐标，N的坐标，线段AM的中点，
直线AM的斜率，
过圆C₁的圆心C₁作C₁P⊥AM，垂足为P，则直线PC₁的斜率，
∴直线PC₁的方程，
∴C₁的坐标为，同理C₂的坐标为，∴，
即无论t如何变化，圆C₁与圆C₂的圆心距是定值．
(2)解：圆C₁的半径为，圆C₂的半径为，
，
显然t=0时，S最小，。